"Ядра - чистый изумруд. Но, быть может, люди врут?"

[nu57]

Профессор Беркли Марина Ратнер о новых школьных стандартах ("Common Core") по математике. Выделено мной.

"The Common Core declares "fewer standards" but "deeper" and "more rigorous" understanding of math. ... For example, when teaching fractions, the teacher required that students draw pictures of everything: of 6 divided by 8, of 4 divided by 2/7, of 0.8 x 0.4, and so forth. In doing so, the teacher followed the instructions: "Interpret and compute quotients of fractions, and solve word problems involving division of fractions by fractions, e.g., by using visual fraction models and equations to represent the problem. For example, create a story context for 2/3 divided by 3/4 and use a visual fraction model to show the quotient... Who would draw a picture to divide 2/3 by 3/4? This requirement of visual models and creating stories is all over the Common Core. The students were constantly told to draw models to answer trivial questions, such as finding 20% of 80 or finding the time for a car to drive 10 miles if it drives 4 miles in 10 minutes, or finding the number of benches one can make from 48 feet of wood if each bench requires 6 feet. A student who gives the correct answer right away (as one should) and doesn't draw anything loses points. Here are some more examples of the Common Core's convoluted and meaningless manipulations of simple concepts: "draw a series of tape diagrams to represent (12 divided by 3) x 3=12, or: rewrite (30 divided by 5) = 6 as a subtraction expression." This model-drawing mania went on in my grandson's class for the entire year, leaving no time to cover geometry and other important topics. While model drawing might occasionally be useful, mathematics is not about visual models and "real world" stories. It became clear to me that the Common Core's "deeper" and "more rigorous" standards mean replacing math with some kind of illustrative counting saturated with pictures, diagrams and elaborate word problems. Simple concepts are made artificially intricate and complex with the pretense of being deeper — while the actual content taught was primitive."

С собственно тенденцией к повальному тотальному иллюстрированию мы пока ещё не сталкивались, но вот от детализации очевидных решений страдали уже в прошлом году. От дочки (в 8-ом классе!) требовалось "написать решение уравнения 11-x=8 в шесть этапов", и за четыре этапа снижали оценку, так что вместо того, чтобы учиться решать элементарные уравнения и переходить к более сложным, мы мучительно высасывали из пальца "этапы".

А в этом году ещё хуже - им рассказали, что нужно будет про каждую тему писать литературное эссе, почему её нужно учить именно так. Я люблю эссе, люблю литературу, хорошо отношусь к изобразительному искусству, и особенно болею за математику, - но предпочитаю, чтобы котлеты отдельно, а мухи отдельно.

Мне тут недавно по совсем другому поводу объясняли, что нельзя критиковать, если не знаешь сам, как надо правильно. Да, из меня плохой учитель, и здесь я тоже не знаю, как надо правильно, - ну разве что выбирать учебники получше. Но я точно знаю, что "deeper" and "more rigorous" годится совсем в другом контексте:) И что решать 11-x=8 в шесть этапов и иллюстрировать картинками деление 2/3 на 3/4 помогает не всем детям.

Впрочем, пару удачных примеров, "как надо", я, пожалуй, всё-таки знаю. Вот на Quora блестяще объясняют семикласснику, зачем нужно учить про корень N-ой степени. Против такой наглядности я ничего не имею.

-----------
Upd.: в комментах - четкое разделение на преподавателей, настоящих и бывших, - и нас, чайников.
Upd.-2: черт, я поняла, они все преподаватели! настоящие или бывшие. Среди моих комментаторов только один не-учитель, кроме меня.

Comments

[tommi-anya.livejournal.com]

На самом деле не так и глупо. Но я сейчас спать уползаю.

[tommi-anya.livejournal.com]

Во-первых, про рисование картинок, поясняющих сложные операции (а деление дроби на дробь нетривиальная задача на некотором этапе изучения. Именно представить себе что это такое, а не просто тупо перевернуть и перемножить, потому что учитель сказал, что так надо). Так вот рисование картинок помогает практически всем и помогает не запутаться. Скажем, один мой коллега провел простой эксперимент: для решения задачек (по физике, но это неважно в данном случае) стал _требовать_. чтоб студенты рисовали картинку, диаграму приложенных сил и прочую физуализацию. В итоге число правильно решенных задач резко возрасло. Раньше большинство хороших студентов сами, без требования, рисовали картинки и получали правильные оветы, единицы сильных студентов могли решить правильно без картинок, остальные ответы без картинок - были полной чучей.

Про деление и умножение дробей - очень нужное дело. Ты себе не представляешь какая каша у большинства школьников-студентов в голове на эту тему. И в чсастности, как я сейчас понимаю - именно потому что правила умножения-деления просты, а представить себе это в голове - сложно. И этот шаг часто вообще пропускается при объяснении темы.

[nu57.livejournal.com]

Я не представляю, какая именно каша, но верю тебе, как чпециалисту, что каша есть. Я только не понимаю, как вся эта беллетристика помогает. Мне вот "представить алгебру в голове" мешает ужасно; поэтому я очень плохо понимаю стереометрию, а геометрию всегда свожу к алгебре. Думаю, что не я одна такая.

Offtopic, на тему "не я одна". Знаешь, что мне сегодня Р. сказала? "Мамочка, ты самая красивая на свете, но есть одна такая же красивая... Аня! И всё! Никого красивее вас нет! Но Аня! С та-а-ким носом и та-а-кая рыжая! Лучше не бывает!"

[tommi-anya.livejournal.com]

А я тут только недавно с Сашкой дроби на дроби умножала и делила. Очень помогает. (ну я-то лично визуал, как впрочем, кажется, и мои дети). Геометрия - любовь моя. Как ее можно к алгербе сводить! Это святотатство!

Я думала это Е. считает меня красивой. Или она и Р. заразила своими эстатическими возрениями? Смешно и, оказывается, приятно. ;)

[sthinks.livejournal.com]

Tell me 'bout that!!!

Я совершенно с тобой согласна про картинки. Но и с Ирой согласна тоже - любая хорошая методика, доведенная до абсурда и обязательная для всех, превращается в зло и тормоз.

[nu57.livejournal.com]

Какой картинкой можно проиллюстрировать дробь, я понимаю (у нас с Юккой только возникли разногласия, пицца или торт). А какой картинкой ты предлагаешь проиллюстрировать деление одной дроби на другую (в качестве альтернативы "просто тупо перевернуть и перемножить, потому что учитель сказал, что так надо")? Я понимаю, как это можно объяснить на словах, но вот придумать естественную облегчающую понимание картинку - у меня воображения не хватает.

[squirella.livejournal.com]

Пожалуйста, нарисуйте картинку для деления 2/3 на 3/4. Я понимаю картинки для
(а) умножения на целое,
(б) деление на целое,
(в) умножения на дробь.
А вот деление на дробь все-таки по-природе своей чисто обратная операция. Я пробовала. Мне не удалось нарисовать картинку, которая поясняет, а не запутывает.

[gingenius.livejournal.com]

помню, в 3 классе решали задачки по этапам, а я решала уравнением (ну потому что меня папа научил)
я была уже не в силах решать этапами, если умела быстро
меня особо не ругали, но иногда да

[nu57.livejournal.com]

Тут тоже не ругают. Просто баллы снимают:)

[kramian.livejournal.com]

Ох, это огромная и непростая тема. Я тебе в другом месте написала, что, мне кажется, (около)профессиональные математики да и вообще образованные люди очень плохо себе представляют, что творится по поводу математики в голове обыкновенного человека. И как его, этого обыкновенного человека, надо математике учить. И еще у людей, прошедших (прекрасную, не спорю) советскую школу, бывают стереотипы, что вот нужно только так и никак иначе.

То, что маразма в школе хватает - это несомненно, но, мне кажется, дело совершенно не в Common Core, а в плохой подготовке учителей, эдьюкаторской бюрократии и общем стереотипе, что нужно все делать по инструкции. Наших детей, к примеру, заставляли умножать методом lattice multiplication (и не разрешали вместо этого умножать в столбик) до всякого Common Core. Сдвинуть гигантскую махину образования хоть куда-то очень трудно, и Common Core, на мой взгляд, как раз правильный шаг в этом направлении. Вот можно тут почитать длинную и, по-моему, очень интересную статью об этом: http://www.csun.edu/~vcmth00m/AHistory.html

[nu57.livejournal.com]

Да, то, что заставляют "только так, а не иначе", - тоже проблема, часто совковая, да; но это другая проблема. Наверняка существует много разных методик, и я, действительно, плохо себе представляю, каких, но некоторые мне всё равно кажутся не очень полезными. Я, опять же, не утверждаю, что нет детей, которым всё это помогает. Просто я думаю, что не всем; мне - всегда мешало (у меня вообще всегда, когда мне начинали говорить про математику "представь себе", шерсть дыбом вставало, и вся моя понималка отказывала), и я таких много видела.

[kramian.livejournal.com]

Все правильно, одним помогает одно, другим другое, а первое только мешает. Объяснять материал поэтому лучше несколькими разными способами, чтобы так или иначе дошло до всех. Между прочим, начальная школа в Америке в этом смысле организована, на мой взгляд, очень грамотно: дети то послушают книжку, то споют песенку, то посидят попишут-порисуют, то потанцуют :) Большинство людей скорее визуалы и им помогают картинки. Но не всякие, картинка должна быть грамотной и ясной, объясняемая идея из нее должна "так и переть", а не быть спрятанной в дебрях. Я еще не встречала людей, которые не говорили бы "ах вот оно что!", видя картинку с доказательством теоремы Пифагора: http://faculty.smcm.edu/sgoldstine/pythagoras.html.
Но как объяснить при помощи картинки деление дробей, я сама тоже не знаю. Вообще не знаю, как ее толково объяснить! Я пыталась, по-моему, я их только запутала :( Буду счастлива, если мне покажут.

Вообще дроби и особенно деление дробей - это, пожалуй, первая ступенька формирования абстрактного мышления, первый выход за рамки "счета на пальцах" и очень важный шаг. И каша в головах таки творится тут ужасная.

Большинство американских школьников воспринимают математику в принципе неправильно - она для них не концентрат здравого смысла и логики, а загадочная книга колдовских рецептов. Они зазубривают эти рецепты совершенно формально (и недостаточно крепко, в этом, по-моему, главное отличие от советской школы). Поэтому, не имея никакого понимания, почему надо производить такие действия, а не другие, они сбиваются при малейшем отклонении от стандартной формулировки задачи. Также они очень плохо решают "текстовые задачи", т.е. не могут перевести словесную задачу на язык формул и уравнений: осмысленные человеческие слова и вся эта абракадабра в их головах никак не связаны.

У меня по поводу Common Core в голове сложилась такое понимание ситуации. (Хотя я совершенно не специалист, могу ошибаться - тут, как я вижу, много профессиональных преподавателей, буду благодарна, если меня поправят и просветят.)

Идея Common Core двоякая: во-первых, это попытка ввести национальный стандарт школьной программы (типа "в 4 классе ученик должен освоить таблицу умножения, в 7 арифметические действия с дробями"). Раньше эти требования определялись каждым штатом (а может, даже и на более местном уровне). Во-вторых, это попытка добиться того, чтобы школьники именно понимали, что они делают, а не повторяли зазубренное, как попки. Именно это имеется в виду под "deeper" and "more rigorous" understanding of math, призывом рисовать картинки и решать текстовые задачи. При этом предлагается требовать "fewer standards", т.е. лучше пройти меньше материала по количеству. И это, на мой взгляд, глубоко правильная идея; кучу всего, что делают в школе, можно выкинуть, пусть лучше дети таки поймут дроби и прочие основы.

Беда в том, что в собственно инструкциях по Common Core все эти прекрасные идеи обрастают огромным количеством специфического эдьюкаторского словоблудия, за которым совершенно теряются. Плюс попытка сделать требования объективными и честными приводит вот к этим инструкциям "всем рисовать картинку". Плюс попытка максимально разжевать учителям (в т.ч. средним и плохим учителям, которые сами не очень понимают, что делают - а таких опять же большинство), что именно от них требуется, приводит к инструкциям "всех заставлять рисовать такую-то картинку" и "требовать шесть этапов" без разбора, когда это полезно, а когда вредно.

Конечно, разнообразного маразма хватает. Но эта проблема - не проблема собственно Common Core, а любого бюрократически-формалистского подхода в большой системе. Он замечательно доводит до абсурда любые здравые идеи, приводит к хождению строем и чисткой унитазов зубными щетками. Я не знаю, что тут можно сделать :( По-моему, так всю огромную махину американской образовательной системы хорошо бы разрушить почти до основанья, а затем, и т.д., но они же не дадутся :( Я делаю, что могу, на своем маленьком месте. Объясняю теорему Пифагора всем, до кого могу дотянуться :)

[utnapishti.livejournal.com]

Поскольку в учебниках по теории групп то и дело показывают пример в духе "решая линейное уравнение, мы на самом деле пользуемся такими то аксиомами". Поэтому я сразу понимаю, что значит "решить 11-x=8 во много этапов", и меня удивляет, что потребовали только 6. М.б., "перенос на другую сторону с другим знаком" считается уже известным законом.

11-x=8
11+(-x)=8
(11+(-x))+x=8+x
11+((-x)+x)=8+x
11+0=8+x
11=8+x
(-8)+11=(-8)+(8+x)
(-8)+11=((-8)+8)+x
(-8)+11=0+x
(-8)+11=x
3=x
x=3

[michk.livejournal.com]

Да, это отличный способ привить отвращение к математике.

[utnapishti.livejournal.com]

Поясняю на всякий случай, что я не сторонник этих "6 этапов" (для школьников). По-моему, даже формулировка "реши задачу двумя способами" может быть проблематична. Я в 3 (+/-) классе был уверен, что это значит "реши задачу, а потом придумай другую манипуляцию с теми же числами, которая даст тот же ответ".

[jenya444.livejournal.com]

А мне именно это кажется очень красивым: чётко видно, где какой закон. Кажется, в нашей мат. школе так и учили. После того, как это понимаешь и потренируешь, можно уже писать ответ в одну строчку.

[nu57.livejournal.com]

Именно.

[nu57.livejournal.com]

Да, именно так.
Может, для кого-то это и полезно. Я просто говорю, что не для всех.

Не забывать дышать и поднимать ногу при хождении тоже является в некотором смысле опущенной аксиомой, но думать про неё сознательно нужно только когда ты учишься ходить (if at all), а если ты уже хорошо умеешь ("as it should be", пишет Марина Ратнер), это издевательство. И может даже привести к тому, что, задумавшись о поднимании ноги в три этапа, ты свалишься в яму.

[squirella.livejournal.com]

А я столкнулась с рисованием дроби, деленной на дробь (или умноженной?). Это очень непростое и неприятное занятие. При этом я (а) бывший математик, (б) человек, который профессионально учит детей, (в) очень люблю рисовать картинки для объяснения абстрактных понятий, (г) и ребенок далеко не самый глупый.

Впрочем, мне кажется, что проблема не столько в методике, сколько в учителях. В прошлом году, когда я ходила на родительское собрание перед началом школы, учительницы строго и испуганно объявляли, что математика в пятом классе (!) очень сложная, а с введением Common Core стала еще сложнее. А ведь чуть ли не лучшие в школе...

А где решение? Не знаю.

И с снем рождения вас (если ЖЖ не соврал)!

[nu57.livejournal.com]

ЖЖ не врёт, спасибо!
Мы, кажется, знакомы не через традиционные 5.5, а всего через одно рукопожатие:) - может, на "ты"?

[squirella.livejournal.com]

Давай! Еслия буду сбиваться, всегда можно поправить.

Возвращаясь к теме. У common core идея хорошая, а вот имплементация мне не нравится.

[yucca.livejournal.com]

На самом деле профессор Беркли просто не в состоянии понять, как это можно иметь трудности с делением дробей. А у многих детей с дробями проблемы, и тут как раз картинки очень даже нужны. Хотя, конечно, нелья сразу начинать с деления 2/3 на 3/4.

Проблема в том, что интерпретируют стандарты учителя, а у них самих регулярно проблемы с глубоким пониманием предмета, вот они и извращаются как могут.

[nu57.livejournal.com]

Я видела детей, у которых трудности с делением дробей. Но я не видела, чтобы рисование или придумывание истории помогало что-то понять, а не ещё больше запутывало дело. Наверняка, такие дети есть, но уж точно не все. А core-то common.

[yucca.livejournal.com]

А чем плохо рисование пиццы как стандартный способ объяснения дробей? Про деление дробей, правда, мне пришлось бы напрячься, чтоб придумать историю. Но не пришлось, в common core уже приведен пример: "How many 3/4-cup servings are in 2/3 of a cup of yogurt?" Ну я б тут какие-то более осмысленные числа подобрала, конечно, но в принципе, что тут плохого?

И вообще не надо недооценивать силу конкретных примеров. Как-то, когда я преподавала калькулюс, один студент ну никак не мог понять какую-то простую вещь, не помню какую, но даже и не калькулюс вовсе. и я уже почти отчаялась, но тут меня озарило, и я сказала "ну представь, что речь идет о долларах, с которыми ты делаешь то-то и то-то". Тут он буквально закричал "эврика!"

[tommi-anya.livejournal.com]

еще как помогает! Не знаю насчет всех, но большинству