"Ядра - чистый изумруд. Но, быть может, люди врут?"

[nu57]

Профессор Беркли Марина Ратнер о новых школьных стандартах ("Common Core") по математике. Выделено мной.

"The Common Core declares "fewer standards" but "deeper" and "more rigorous" understanding of math. ... For example, when teaching fractions, the teacher required that students draw pictures of everything: of 6 divided by 8, of 4 divided by 2/7, of 0.8 x 0.4, and so forth. In doing so, the teacher followed the instructions: "Interpret and compute quotients of fractions, and solve word problems involving division of fractions by fractions, e.g., by using visual fraction models and equations to represent the problem. For example, create a story context for 2/3 divided by 3/4 and use a visual fraction model to show the quotient... Who would draw a picture to divide 2/3 by 3/4? This requirement of visual models and creating stories is all over the Common Core. The students were constantly told to draw models to answer trivial questions, such as finding 20% of 80 or finding the time for a car to drive 10 miles if it drives 4 miles in 10 minutes, or finding the number of benches one can make from 48 feet of wood if each bench requires 6 feet. A student who gives the correct answer right away (as one should) and doesn't draw anything loses points. Here are some more examples of the Common Core's convoluted and meaningless manipulations of simple concepts: "draw a series of tape diagrams to represent (12 divided by 3) x 3=12, or: rewrite (30 divided by 5) = 6 as a subtraction expression." This model-drawing mania went on in my grandson's class for the entire year, leaving no time to cover geometry and other important topics. While model drawing might occasionally be useful, mathematics is not about visual models and "real world" stories. It became clear to me that the Common Core's "deeper" and "more rigorous" standards mean replacing math with some kind of illustrative counting saturated with pictures, diagrams and elaborate word problems. Simple concepts are made artificially intricate and complex with the pretense of being deeper — while the actual content taught was primitive."

С собственно тенденцией к повальному тотальному иллюстрированию мы пока ещё не сталкивались, но вот от детализации очевидных решений страдали уже в прошлом году. От дочки (в 8-ом классе!) требовалось "написать решение уравнения 11-x=8 в шесть этапов", и за четыре этапа снижали оценку, так что вместо того, чтобы учиться решать элементарные уравнения и переходить к более сложным, мы мучительно высасывали из пальца "этапы".

А в этом году ещё хуже - им рассказали, что нужно будет про каждую тему писать литературное эссе, почему её нужно учить именно так. Я люблю эссе, люблю литературу, хорошо отношусь к изобразительному искусству, и особенно болею за математику, - но предпочитаю, чтобы котлеты отдельно, а мухи отдельно.

Мне тут недавно по совсем другому поводу объясняли, что нельзя критиковать, если не знаешь сам, как надо правильно. Да, из меня плохой учитель, и здесь я тоже не знаю, как надо правильно, - ну разве что выбирать учебники получше. Но я точно знаю, что "deeper" and "more rigorous" годится совсем в другом контексте:) И что решать 11-x=8 в шесть этапов и иллюстрировать картинками деление 2/3 на 3/4 помогает не всем детям.

Впрочем, пару удачных примеров, "как надо", я, пожалуй, всё-таки знаю. Вот на Quora блестяще объясняют семикласснику, зачем нужно учить про корень N-ой степени. Против такой наглядности я ничего не имею.

-----------
Upd.: в комментах - четкое разделение на преподавателей, настоящих и бывших, - и нас, чайников.
Upd.-2: черт, я поняла, они все преподаватели! настоящие или бывшие. Среди моих комментаторов только один не-учитель, кроме меня.

Comments

[kramian.livejournal.com]

Ох, это огромная и непростая тема. Я тебе в другом месте написала, что, мне кажется, (около)профессиональные математики да и вообще образованные люди очень плохо себе представляют, что творится по поводу математики в голове обыкновенного человека. И как его, этого обыкновенного человека, надо математике учить. И еще у людей, прошедших (прекрасную, не спорю) советскую школу, бывают стереотипы, что вот нужно только так и никак иначе.

То, что маразма в школе хватает - это несомненно, но, мне кажется, дело совершенно не в Common Core, а в плохой подготовке учителей, эдьюкаторской бюрократии и общем стереотипе, что нужно все делать по инструкции. Наших детей, к примеру, заставляли умножать методом lattice multiplication (и не разрешали вместо этого умножать в столбик) до всякого Common Core. Сдвинуть гигантскую махину образования хоть куда-то очень трудно, и Common Core, на мой взгляд, как раз правильный шаг в этом направлении. Вот можно тут почитать длинную и, по-моему, очень интересную статью об этом: http://www.csun.edu/~vcmth00m/AHistory.html

[nu57.livejournal.com]

Да, то, что заставляют "только так, а не иначе", - тоже проблема, часто совковая, да; но это другая проблема. Наверняка существует много разных методик, и я, действительно, плохо себе представляю, каких, но некоторые мне всё равно кажутся не очень полезными. Я, опять же, не утверждаю, что нет детей, которым всё это помогает. Просто я думаю, что не всем; мне - всегда мешало (у меня вообще всегда, когда мне начинали говорить про математику "представь себе", шерсть дыбом вставало, и вся моя понималка отказывала), и я таких много видела.

[kramian.livejournal.com]

Все правильно, одним помогает одно, другим другое, а первое только мешает. Объяснять материал поэтому лучше несколькими разными способами, чтобы так или иначе дошло до всех. Между прочим, начальная школа в Америке в этом смысле организована, на мой взгляд, очень грамотно: дети то послушают книжку, то споют песенку, то посидят попишут-порисуют, то потанцуют :) Большинство людей скорее визуалы и им помогают картинки. Но не всякие, картинка должна быть грамотной и ясной, объясняемая идея из нее должна "так и переть", а не быть спрятанной в дебрях. Я еще не встречала людей, которые не говорили бы "ах вот оно что!", видя картинку с доказательством теоремы Пифагора: http://faculty.smcm.edu/sgoldstine/pythagoras.html.
Но как объяснить при помощи картинки деление дробей, я сама тоже не знаю. Вообще не знаю, как ее толково объяснить! Я пыталась, по-моему, я их только запутала :( Буду счастлива, если мне покажут.

Вообще дроби и особенно деление дробей - это, пожалуй, первая ступенька формирования абстрактного мышления, первый выход за рамки "счета на пальцах" и очень важный шаг. И каша в головах таки творится тут ужасная.

Большинство американских школьников воспринимают математику в принципе неправильно - она для них не концентрат здравого смысла и логики, а загадочная книга колдовских рецептов. Они зазубривают эти рецепты совершенно формально (и недостаточно крепко, в этом, по-моему, главное отличие от советской школы). Поэтому, не имея никакого понимания, почему надо производить такие действия, а не другие, они сбиваются при малейшем отклонении от стандартной формулировки задачи. Также они очень плохо решают "текстовые задачи", т.е. не могут перевести словесную задачу на язык формул и уравнений: осмысленные человеческие слова и вся эта абракадабра в их головах никак не связаны.

У меня по поводу Common Core в голове сложилась такое понимание ситуации. (Хотя я совершенно не специалист, могу ошибаться - тут, как я вижу, много профессиональных преподавателей, буду благодарна, если меня поправят и просветят.)

Идея Common Core двоякая: во-первых, это попытка ввести национальный стандарт школьной программы (типа "в 4 классе ученик должен освоить таблицу умножения, в 7 арифметические действия с дробями"). Раньше эти требования определялись каждым штатом (а может, даже и на более местном уровне). Во-вторых, это попытка добиться того, чтобы школьники именно понимали, что они делают, а не повторяли зазубренное, как попки. Именно это имеется в виду под "deeper" and "more rigorous" understanding of math, призывом рисовать картинки и решать текстовые задачи. При этом предлагается требовать "fewer standards", т.е. лучше пройти меньше материала по количеству. И это, на мой взгляд, глубоко правильная идея; кучу всего, что делают в школе, можно выкинуть, пусть лучше дети таки поймут дроби и прочие основы.

Беда в том, что в собственно инструкциях по Common Core все эти прекрасные идеи обрастают огромным количеством специфического эдьюкаторского словоблудия, за которым совершенно теряются. Плюс попытка сделать требования объективными и честными приводит вот к этим инструкциям "всем рисовать картинку". Плюс попытка максимально разжевать учителям (в т.ч. средним и плохим учителям, которые сами не очень понимают, что делают - а таких опять же большинство), что именно от них требуется, приводит к инструкциям "всех заставлять рисовать такую-то картинку" и "требовать шесть этапов" без разбора, когда это полезно, а когда вредно.

Конечно, разнообразного маразма хватает. Но эта проблема - не проблема собственно Common Core, а любого бюрократически-формалистского подхода в большой системе. Он замечательно доводит до абсурда любые здравые идеи, приводит к хождению строем и чисткой унитазов зубными щетками. Я не знаю, что тут можно сделать :( По-моему, так всю огромную махину американской образовательной системы хорошо бы разрушить почти до основанья, а затем, и т.д., но они же не дадутся :( Я делаю, что могу, на своем маленьком месте. Объясняю теорему Пифагора всем, до кого могу дотянуться :)

[nu57.livejournal.com]

Я тем более не понимаю, как, - у меня ведь опыт объяснения только двоим, "до которых могу дотянуться". Успешный, но ни в коем случае не общий.

Про деление дробей - вот Аня говорит, как объясняла своей 9и-летней дочке. Это, правда, по-моему, не вполне "визуализация", просто нормальная здоровая логика (вроде того, как объяснять коммутативность умножения на прямоугольнике в клеточку, хотя я объясняла на словах и корзинах яблок:). У Ани, видишь, получилось, а она - профессионал.

Школой мы тут, кстати, вполне довольны, и "большого количества маразма" не видели. Теперешние учебники математики мне кажутся не очень удачными, не из-за тем и количества материала, а из-за логики построения. Учебник, по-моему, должн быть однородным ("clean and simple"), а тут - то картинка, то сбоку теорема красным и в рамочке, то нужно прыгнуть на страницу 91, а потом вернуться на 2-ую или 57-ую, и т.д. - именно что то песенку споют, то потанцуют. Опять же, не говорю за всех - меня и моих раздражает. И порядок материала не такой, как я бы сделала. Но в общем учат очень неплохо, и если бы учителя имели право требовать от одного ребенка одиннадцати этапов, а другому, если они видят, что это не нужно, разрешать писать ответ сразу, всё было бы в порядке (для такого "индпошива" даже денег не нужно). Многие так и делают - зависит от учителя.

Проблема переводить словесные задачи в формулы - действительно, очень важная, и этому надо учить. Я этому своих учила классе 3-ем. Но это - одноразовый процесс, как от букв перейти к чтению слогов. Потом, когда уже поняли, умеют.

[kramian.livejournal.com]

И как ты объяснила своим про дроби, с какой стороны? (Это интересный пример, где формальное понимание требует меньше мозговых усилий, чем понимание сути; поэтому, наверно, тут столько проблем: все идут путем наименьшего сопротивления, а потом непонимание где-то вылазит.) Аню я уже спросила, я не поняла, как на клеточках объяснить именно общий принцип :(

Про учебники - это мое больное место, со всеми этими рамочками, разноцветными шрифтами и картинками! Весь этот визуальный шум, за которым никакой идеи уже не видно, логика пропала, за мыслью вообще не уследишь! Ненавижу!!! Я где-то в ЖЖ уже распалялась на эту тему. Вот эти учебники - это одна из причин, почему мне иногда хочется систему разрушить до основанья: иначе их не поменяешь, это огромная индустрия и кормушка, там все одно на другое завязано. Саму же школу разрушать мне вовсе не хочется; у нас к ней есть претензии, но я вижу и много хорошего и правильного, и вообще от нее все же гораздо больше пользы, чем вреда. Хорошо, что и вы в целом довольны школой.

Но все эти спеть/станцевать - это совсем не то, что цветные рамочки в учебниках! Вот представь, в киндергартене учат, положим, дни недели. Учитель сперва какую-нибудь историю про это прочтет; потом они песенку споют; потом напишут названия и разукрасят; потом еще с песенкой станцуют, на каждый день определенное движение или там на полу написать названия и прыгать по ним (вот представь себе, есть кинестетики, которые только так могут!) И так каждый день :) Все про одно и то же, разными способами, каждый хоть каким-нибудь да запомнит.

[andreylv.livejournal.com]

Я с этими комментариями согласен на почти полностью. Я бы это так просуммировал - организованные попытки научить плохо понимающих математику учителей преподавать ее хорошо (по каким-то стандартизированным методикам) регулярно проваливаются. Поэтому, если бы я был консультантом по управлению и меня бы нанял Департамент Образования, я бы им сказал - этот путь тупиковый и никуда не ведет, поэтому надо зайти с другой стороны, и привлечь в школу больше людей, хорошо знающих математику. Причем это вопрос не столько денег, сколько организации учительского труда. Работа учителя настолько несвободна и заорганизованна, что люди, могущие научить, туда просто не хотят идти, им не интересно учить под копирку. Я слышал, что многие прекраснодушные молодые люди, которые записываются в Teach for America, больше года не выдерживают.

Мой папа преподает математику в американской школе. Я его спросил - если бы сейчас появился джин и сказал "Загадывай любое желание про свою работу, исполню все, что попросишь!" что бы ты пожелал? Папа сказал - возможность ставить студенту ту оценку, на которую он знает.

[kramian.livejournal.com]

Ох, я даже не знаю, есть ли вообще столько людей, хорошо знающих математику. И да, привлечь их не так просто; труд учителя, увы, далеко не самый престижный и хорошо оплачиваемый, а работа в школе неизбежно очень стрессовая.

Я в школе не преподаю, так что так хорошо не разбираюсь, но я бы, наверно, попросила у джинна хорошие толковые учебники.

[andreylv.livejournal.com]

"Ох, я даже не знаю, есть ли вообще столько людей, хорошо знающих математику." -

- Есть, отчего же нету. Да просто отличники в школу потом не идут работать, идут троечники.

"И да, привлечь их не так просто; труд учителя, увы, далеко не самый престижный и хорошо оплачиваемый, а работа в школе неизбежно очень стрессовая." -

- Ну да, но моя идея состоит в том, что это не главное. А главное - что она превратилась в очень неинтересную и нетворческую, зарегулированную донельзя. И это главное, что отпугивает перспективных учителей.

В идеальном мире для работы в школе не требовалась бы лицензия, и школа принимала бы учителей-адьюнктов, как делают все университеты, например. А государство поощряло бы работодателй позволять сотрудникам преподавать в школе полдня в неделю, например. И все наши финансисты, которые очень хорошо умеют считать, но не хотят бросать основные, высокооплачивамые работы, с удовольствием проводили бы один-два урока в неделю. Ах, мечты, мечты.

"я бы, наверно, попросила у джинна хорошие толковые учебники." -

- так они есть, пожалуйста, например Singapoure Math. Но чтобы понять, что они толковые, учитель должен разбираться в математике и учебниках, а как мы уже выяснили, этого-то нам и нехватает.

[kramian.livejournal.com]

Слушайте, про адъюнктов - это правда шикарнейшая идея, мне в голову такое не приходило! Я поняла Вашу мысль, что дело не обязательно в деньгах, а скорее в заорганизованности. Просто я как-то представляла себе учителей, которые в школе с утра до вечера, и это объективно не всякому подходит, даже если будет больше свободы (и денег) и меньше бюрократии. А вот прийти раз-два в неделю - на это многие пошли бы!

Но тут есть проблема с тем, как устроено расписание в американской школе: предмет преподается не полдня в неделю, а каждый день в одно и то же время. Эта, казалось бы, формальная разница на самом деле имеет колоссальное значение. Например, мне кажется, что это одна из причин того, что естественные науки преподаются в режиме "год биологии, год химии, год физики", вместо того, что проходить все эти науки параллельно и постепенно много лет.

Про учебники я имела в виду - что их введут в американских школах. Учебники-то есть, хоть Сингапур, хоть те же советские были ого-го, но в школах используют вместо них какое-то безобразие :( Даже не очень хороший учитель по хорошему учебнику будет учить лучше - прежде всего, он сам лучше поймет, как скобки раскрывать :)

[andreylv.livejournal.com]

"Про учебники я имела в виду - что их введут в американских школах. Учебники-то есть, хоть Сингапур, хоть те же советские были ого-го, но в школах используют вместо них какое-то безобразие" -

- вы правы, массово эти учебники не вводят, и опять же, мне кажется, это прежде всего потому, что учителя не понимают толком математики и в частности не могут отличить плохой учебник от хорошего. Однако есть и положительные примеры - не в нашем городке, но в соседнем, обычная public school перешла на сингапурские учебники.

[kramian.livejournal.com]

Здорово! А я думала, учебники утверждают на уровне округа и отдельная школа не может выбрать другой.

Я, хотя не очень склонна к конспирологии, полагала, что плохие учебники навязываются прежде всего индустрией их производства и эдьюкаторской элитой (полагаю, это большие деньги, учебники эти стоят долларов по 100, и это кормушка для целой кучи людей). Но и насчет учителей Вы, наверно, правы: если бы они массово возмущались и требовали других учебников, то дело могло бы сдвинуться.

[andreylv.livejournal.com]

Для примера, вот статья аж четырехлетней давности про то, как сингапурская математика набирает популярность в хороших школах:

http://www.nytimes.com/2010/10/01/education/01math.html?_r=0

[kramian.livejournal.com]

Хорошо бы :) Но в статье говорится, что многие учителя находят эту программу слишком сложной :( Должна сказать, что про сингапурскую программу я читала, видела ролики о ней на ю-тюбе; звучит хорошо, и все толковые люди ее хвалят, но я сама вообще-то ее не видела.

[andreylv.livejournal.com]

Это мне напомнило читанную когда-то историю, не знаю, насколько она точна, но верится легко. Якобы после войны, с развитием маркетинга как науки, пивоваренные компании выяснили, что пиво покупают женщины (заодно с прочими продуктами для семьи) но сами они его не пьют. Зато они смотрят телевизор. Они (компании) из этого сделали вывод, что гораздо выгоднее вкладывать деньги в рекламу, чем в производство качественного продукта. И вот таким образом в Америке за несколько десятилетий полностью исчезло хорошее пиво, и его заменил вездесущий Бадвайзер и Микелоб. Аналогия тут прямая - и там и там у нас unsophisticated buyer (учителя математики, которые эту математику сами не очень хорошо знают), который не является потребителем продукта (т.е. учителя-то по этим учебникам не учатся) и который ведется на красивую красочную картинку.

Да, а с пивом ситуация выправилась в последние лет пятнадцать фантастическим образом - появились мелкие пивоварни, которые сначала раскручивались, продавая пиво грамотному потребителю напрямую (через бары), а теперь, когда рынок уже создан, могут выходить сразу в розничную торговлю. Может, и с учебниками математики выправится :-)

[kramian.livejournal.com]

Очень интересно, история забавная. Я не берусь делать прогнозов, т.к. совершенно недостаточно знаю всю подноготную образовательной системы - да и вообще, это огромная система со множеством факторов, боюсь, даже специалисту трудно предсказать, куда все повернется. Но надеяться, конечно, надо на хорошее :)